Упр.6.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 147). Найдите углы трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, в которой $$BC=AB=CD$$ и $$BD\perp AB$$.

Так как трапеция равнобокая, то $$\angle BAD=\angle CDA$$ и $$\angle ABC=\angle BCD$$.

Рассмотрим треугольник $$BCD$$. Он равнобедренный, так как $$BC=CD$$, значит, $$\angle CBD=\angle BDC$$.

Из условия $$BD\perp AB$$, поэтому угол между прямыми $$BC$$ и $$AB$$ равен

$$\angle ABC=90^\circ+\angle DBC.$$

С другой стороны, в треугольнике $$BCD$$

$$\angle BCD=180^\circ-2\angle DBC.$$

Но $$\angle ABC=\angle BCD$$, значит,

$$90^\circ+\angle DBC=180^\circ-2\angle DBC,$$

откуда

$$3\angle DBC=90^\circ,$$

$$\angle DBC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABC=90^\circ+30^\circ=120^\circ,$$

а значит,

$$\angle BCD=120^\circ.$$

Так как $$AD\parallel BC$$, то внутренние односторонние углы при секущей $$AB$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle BAD+\angle ABC=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BAD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

По равенству углов равнобокой трапеции

$$\angle CDA=\angle BAD=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.