Упр.6.63 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого
угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см;
Найти: основания трапеции;
Решение:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция, у которой AB=CD и
высота BE делит основание AD на отрезки AE=6 см и ED=30 см;
2) AD=AE+ED=6+30=36 см;
3) По доказанному в задаче 60: угол A = углу D;
4) Проведем из вершины C высоту CE1;
5) Прямоугольные треугольники ABE и CDE1 равны по гипотенузе и
острому углу, отсюда E1 D=AE=6 см;
6) EE1=ED-E1 D=30-6=24 см;
7) BE перпендикулярен AD и CE1 перпендикулярен AD, значит BE||CE1;
8) Четырехугольник BCE1 E- параллелограмм (по определению),
отсюда BC=EE1=24 см;
Ответ: 36 см и 24 см.

Подробный ответ

Обозначим равнобокую трапецию $$ABCD$$, где $$AD$$ — большее основание. Пусть высота $$BE$$, проведённая из вершины тупого угла $$B$$, делит основание $$AD$$ на отрезки $$AE=6$$ см и $$ED=30$$ см.

Тогда

$$AD=AE+ED=6+30=36\text{ см}.$$

Проведём из вершины $$C$$ высоту $$CE_1$$ к основанию $$AD$$. Так как трапеция равнобокая, то её углы при основании равны, значит прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CDE_1$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$E_1D=AE=6\text{ см}.$$

Тогда

$$EE_1=ED-E_1D=30-6=24\text{ см}.$$

Так как $$BE\perp AD$$ и $$CE_1\perp AD$$, то $$BE\parallel CE_1$$. Кроме того, отрезки $$BC$$ и $$EE_1$$ лежат на параллельных прямых, поэтому четырёхугольник $$BCE_1E$$ — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны равны:

$$BC=EE_1=24\text{ см}.$$

Итак, основания трапеции равны $$36$$ см и $$24$$ см.