Упр.15.63 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на
части 3 см и 9 см;
Найти: объемы полученных частей;
1) Пусть O-центр данного шара, R-его радиус и O1-центр сечения;
2) Проведем диаметр AB данного шара, проходящий через точку O1,
и диаметр CD окружности сечения, тогда по условию задачи:
CD перпендикулярна AB, O1 A=3 см, O1 B=9 см, OA=OB=R;
3) Отрезки O1 A и O1 B являются высотами шаровых сегментов, на
которые разбивается шар плоскотью;
4) Найдем диаметр шара и его радиус:
AB=O1 A+O1 B=3+9=12 см;
AB=2R, отсюда R=AB/2=6 см;
5) Объем шарового сегмента равен:
V=Пиh^2 (R-1/3 h), где h-высота сегмента;
6) Найдем объем сегмента высотой O1 A:
V1=Пи•3^2•(6-1/3•3)=9Пи•(6-1)=9Пи•5=45 Пи см^3;
7) Найдем объем сегмента высотой O1 B:
V2=Пи•9^2•(6-1/3•9)=81Пи•(6-3)=81Пи•3=243Пи см^3;
Ответ: 45Пи см^3 и 243Пи см^3.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр шара, $$R$$ — его радиус, а $$O_1$$ — центр кругового сечения. Тогда отрезки $$O_1A$$ и $$O_1B$$ равны высотам двух шаровых сегментов, на которые плоскость делит шар.

По условию:

$$O_1A=3\text{ см}, \quad O_1B=9\text{ см}.$$

Диаметр шара равен сумме этих отрезков:

$$AB=O_1A+O_1B=3+9=12\text{ см}.$$

Следовательно, радиус шара:

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Объём шарового сегмента высоты $$h$$ вычисляется по формуле:

$$V=\pi h^2\left(R-\frac{1}{3}h\right).$$

Для сегмента высоты $$3\text{ см}$$:

$$ V_1=\pi\cdot 3^2\left(6-\frac{1}{3}\cdot 3\right) =9\pi(6-1) =45\pi\text{ см}^3. $$

Для сегмента высоты $$9\text{ см}$$:

$$ V_2=\pi\cdot 9^2\left(6-\frac{1}{3}\cdot 9\right) =81\pi(6-3) =243\pi\text{ см}^3. $$