Упр.7.63 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Вычислите значения $$\sin \alpha$$, $$\tg \alpha$$ и $$\ctg \alpha$$, если:
   1) $$\cos \alpha=\frac{5}{13}$$;
   2) $$\cos \alpha=\frac{15}{17}$$;
   3) $$\cos \alpha=0{,}6$$.

Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$

откуда

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha};$$

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

1. Если $$\cos\alpha=\frac{5}{13},$$ то

   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{12}{13}:\frac{5}{13}=\frac{12}{5}, \qquad \ctg\alpha=\frac{5}{13}:\frac{12}{13}=\frac{5}{12}.$$

2. Если $$\cos\alpha=\frac{15}{17},$$ то

   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{8}{17}:\frac{15}{17}=\frac{8}{15}, \qquad \ctg\alpha=\frac{15}{17}:\frac{8}{17}=\frac{15}{8}.$$

3. Если $$\cos\alpha=0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$$ то

   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}, \qquad \ctg\alpha=\frac{3}{5}:\frac{4}{5}=\frac{3}{4}.$$

Ответ: 1) $$\sin\alpha=\frac{12}{13},\ \tg\alpha=\frac{12}{5},\ \ctg\alpha=\frac{5}{12};$$ 2) $$\sin\alpha=\frac{8}{17},\ \tg\alpha=\frac{8}{15},\ \ctg\alpha=\frac{15}{8};$$ 3) $$\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \tg\alpha=\frac{4}{3},\ \ctg\alpha=\frac{3}{4}.$$