Упр.7.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
1) 1 — sin2 альфа;
2) (1 — cos альфа)(1 + cos альфа);
3) 1 + sin2 альфа + cos2 альфа;
4) sin альфа — sin альфа cos2 альфа;
5) sin4 альфа + cos4 альфа + 2sin2 альфа cos2 альфа;
6) tg2 альфа — sin2 альфа tg2 альфа;
7) sin2 альфа + ctg2 альфа sin2 альфа;
8) tg альфа (2cos альфа + sin альфа — 1);
9) (1-ctg2 альфа + ctg4 альфа)/ sin2 альфа.
Используем основные тригонометрические тождества:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,$$
$$1+\ctg^2 \alpha=\frac{1}{\sin^2 \alpha}, \qquad \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$$
1) $$1-\sin^2 \alpha=\cos^2 \alpha.$$
2) $$\left(1-\cos \alpha\right)\left(1+\cos \alpha\right)=1-\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha.$$
3) $$1+\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1+\left(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha\right)=1+1=2.$$
4) $$\sin \alpha-\sin \alpha \cos^2 \alpha=\sin \alpha\left(1-\cos^2 \alpha\right)=\sin \alpha \cdot \sin^2 \alpha=\sin^3 \alpha.$$
5) $$\sin^4 \alpha+\cos^4 \alpha+2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha=\left(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha\right)^2=1^2=1.$$
6) $$\tg^2 \alpha-\sin^2 \alpha \tg^2 \alpha=\tg^2 \alpha\left(1-\sin^2 \alpha\right)=\tg^2 \alpha \cos^2 \alpha=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha.$$
7) $$\sin^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \sin^2 \alpha=\sin^2 \alpha\left(1+\ctg^2 \alpha\right)=\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}=1.$$
8) $$\tg \alpha\left(2\cos \alpha+\sin \alpha-1\right)=\tg \alpha\left(\cos \alpha+\left(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha\right)-1\right)$$
$$=\tg \alpha\left(\cos^2 \alpha+\cos \alpha+\sin^2 \alpha-1\right)=\tg \alpha \cdot \cos^2 \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\cos^2 \alpha=\sin \alpha \cos \alpha.$$
9) $$\frac{1-\ctg^2 \alpha+\ctg^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}=\left(1-\ctg^2 \alpha+\ctg^4 \alpha\right)\left(1+\ctg^2 \alpha\right)$$
$$=1+\ctg^2 \alpha-\ctg^2 \alpha-\ctg^4 \alpha+\ctg^4 \alpha+\ctg^6 \alpha=1+\ctg^6 \alpha.$$
Ответ
1) $$\cos^2 \alpha$$; 2) $$\sin^2 \alpha$$; 3) $$2$$; 4) $$\sin^3 \alpha$$; 5) $$1$$; 6) $$\sin^2 \alpha$$; 7) $$1$$; 8) $$\sin \alpha \cos \alpha$$; 9) $$1+\ctg^6 \alpha$$.
