Упр.14.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга $$R$$ (рис. 312).

Пусть $$AB$$ — сторона вписанного правильного $$n$$-угольника, $$O$$ — центр круга. Тогда $$OA=OB=R$$, а центральный угол

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь треугольника $$AOB$$ равна

$$S_{AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\angle AOB=\frac12R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь соответствующего кругового сегмента:

$$S_1=\frac{\pi R^2}{360^\circ}\cdot \frac{360^\circ}{n}-S_{AOB}=R^2\left(\frac{\pi}{n}-\frac12\sin\frac{360^\circ}{n}\right).$$

Так как правильный $$n$$-угольник состоит из $$n$$ равных таких треугольников, то площадь части круга, лежащей вне него, равна

$$S_n=nS_1=R^2\left(\pi-\frac n2\sin\frac{360^\circ}{n}\right).$$

Теперь подставим нужные значения.

1) Для квадрата $$n=4$$:

$$S=R^2\left(\pi-\frac42\sin90^\circ\right)=R^2(\pi-2).$$

2) Для правильного треугольника $$n=3$$:

$$S=R^2\left(\pi-\frac32\sin120^\circ\right)=R^2\left(\pi-\frac32\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right)=R^2\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{4}\right).$$

3) Для правильного шестиугольника $$n=6$$:

$$S=R^2\left(\pi-\frac62\sin60^\circ\right)=R^2\left(\pi-3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right)=R^2\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Ответ: 1) $$\left(\pi-2\right)R^2$$; 2) $$\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{4}\right)R^2$$; 3) $$\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\right)R^2$$.