Упр.8.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 8-62. Докажите, что если $$\sin \alpha=\sin \beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
Рассмотрим углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ в пределах от $$0^\circ$$ до $$180^\circ$$.
Если оба угла острые, то при возрастании острого угла синус возрастает. Поэтому из равенства $$\sin \alpha=\sin \beta$$ следует, что $$\alpha=\beta$$.
Если один угол острый, а другой тупой, например $$\alpha<90^\circ$$, $$\beta>90^\circ$$, то угол $$180^\circ-\beta$$ острый и
$$\sin \beta=\sin(180^\circ-\beta).$$
Из условия $$\sin \alpha=\sin \beta$$ получаем
$$\sin \alpha=\sin(180^\circ-\beta).$$
Оба угла $$\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые, а значит, равенство их синусов возможно только при равенстве самих углов:
$$\alpha=180^\circ-\beta.$$
Если оба угла тупые, то острыми будут углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$. Тогда
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha,\qquad \sin(180^\circ-\beta)=\sin \beta.$$
Из условия $$\sin \alpha=\sin \beta$$ следует, что
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(180^\circ-\beta).$$
Так как оба угла $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые, то они равны:
$$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$
откуда $$\alpha=\beta$$.
Итак, если $$\sin \alpha=\sin \beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
