Упр.15.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Радиусы оснований усечённого конуса $$R$$ и $$r$$, образующая наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Найдите объём.

Достроим усечённый конус до полного конуса с вершиной $$P$$. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований радиусов $$R$$ и $$r$$ соответственно.

Тогда $$OP$$ — высота полного конуса, а $$O_1P$$ — высота отсечённой части.

Проведём образующую $$AP$$ полного конуса и рассмотрим точку $$A_1$$ её пересечения с окружностью меньшего основания. Тогда

$$AO=R,\qquad A_1O_1=r,\qquad \angle PAO=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOP$$. Так как

$$\angle P=90^\circ-\angle A=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

то треугольник $$AOP$$ равнобедренный, следовательно,

$$OP=AO=R.$$

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ подобны по общему острому углу при $$P$$ и прямым углам при $$O$$ и $$O_1$$. Поэтому

$$\frac{O_1P}{OP}=\frac{A_1O_1}{AO}=\frac{r}{R},$$

откуда

$$O_1P=r.$$

Объём усечённого конуса равен разности объёмов полного конуса и отсечённой части:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot OP-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot O_1P =\frac{1}{3}\pi R^3-\frac{1}{3}\pi r^3 =\frac{\pi}{3}(R^3-r^3).$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}(R^3-r^3).$$