Упр.14.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найдите площадь кругового сегмента с основанием $$a\sqrt{3}$$ и высотой $$\frac{a}{2}$$.

Подробный ответ

Пусть $$AB=a\sqrt{3}$$ — основание кругового сегмента, $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус. Проведём радиус $$OC$$ через середину $$H$$ хорды $$AB$$.

Так как $$OA=OB=OC=R$$, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, а значит, $$OH$$ — и медиана, и высота. Тогда

$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Высота сегмента равна $$CH=\frac{a}{2}$$, поэтому

$$OH=OC-CH=R-\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:

$$AO^2=OH^2+AH^2$$
$$R^2=\left(R-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$$
$$R^2=R^2-Ra+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}$$
$$Ra=a^2,\qquad R=a.$$

Теперь найдём угол $$\angle AOB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB$$
$$3a^2=a^2+a^2-2a^2\cos\angle AOB$$
$$\cos\angle AOB=-\frac{1}{2},$$
откуда $$\angle AOB=120^\circ.$$

Площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO\cdot \sin\angle AOB =\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin120^\circ =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Площадь кругового сегмента равна площади сектора минус площадь треугольника:

$$S=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2-S_{AOB} =\frac{1}{3}\pi a^2-\frac{a^2\sqrt{3}}{4} =a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$

Ответ: $$a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$