Упр.11.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из точки C окружности проведён перпендикуляр CD к диаметру AB. Докажите, что $$CD^2=AD\cdot BD$$.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на него, прямой:

$$\angle ACB=90^\circ.$$

По условию $$CD\perp AB$$, значит $$\angle ADC=90^\circ$$ и $$\angle CDB=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$. У них

$$\angle ACD=\angle CBD,$$

так как оба эти угла дополняют до прямого углы при вершине $$C$$ и $$B$$ в соответствующих треугольниках. Следовательно, треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$ подобны.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}.$$

Перемножая крайние и средние члены, имеем:

$$CD^2=AD\cdot BD.$$

Что и требовалось доказать.