Упр.8.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если $$\cos \alpha=\cos \beta$$, то $$\alpha=\beta$$.

Рассмотрим три возможных случая.

1. Если оба угла $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые, то при возрастании острого угла косинус убывает. Поэтому из неравенства $$\alpha>\beta$$ следовало бы $$\cos\alpha<\cos\beta$$, а из $$\beta>\alpha$$ — $$\cos\beta<\cos\alpha$$. Это противоречит условию $$\cos\alpha=\cos\beta$$. Значит, $$\alpha=\beta$$.

2. Случай, когда один угол острый, а другой тупой, невозможен, так как для углов от $$0^\circ$$ до $$180^\circ$$ выполняется $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$, то есть острые и тупые углы имеют косинусы разных знаков.

3. Если оба угла тупые, то углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые. При этом

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,$$
   $$\cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta.$$

   Из условия $$\cos\alpha=\cos\beta$$ получаем

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=\cos(180^\circ-\beta).$$

   Но для острых углов равенство косинусов означает равенство самих углов, значит

   $$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$

   откуда $$\alpha=\beta$$.

Следовательно, если $$\cos\alpha=\cos\beta$$, то $$\alpha=\beta$$.