Упр.11.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: из точки C окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру AB;
Доказать: CD^2=AD•BD;
Доказательство:
1) Вписанный угол ACB опирается на диаметр окружности, значит:
угол ACB=90°;
2) Прямоугольные треугольники ABC и ACD подобны по общему углу A:
3) Прямоугольные треугольники ABC и CBD подобны по общему углу B;
4) Следовательно, треугольники ACD и CBD также подобны, отсюда:
AD/CD=CD/BD = > CD^2=AD•BD, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Так как точка $C$ лежит на окружности, а $AB$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит,

$$\angle ACB=90^\circ.$$

По условию $CD \perp AB$, следовательно,

$$\angle ADC=90^\circ,\qquad \angle CDB=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACD$ и $CBD$.

У них

$$\angle ACD=\angle CBD,$$

так как оба эти угла дополняют до прямого угла угол при вершине $C$ в треугольнике $ABC$.

Следовательно, треугольники $ACD$ и $CBD$ подобны по двум углам. Тогда для соответствующих сторон имеем

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}.$$

Перемножая крайние и средние члены, получаем