Упр.6.60 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, у которой основания $$AB$$ и $$CD$$, а боковые стороны $$AD$$ и $$BC$$.

Проведём через вершину $$B$$ прямую $$BE$$, параллельную стороне $$AD$$, и обозначим через $$E$$ точку её пересечения с лучом $$DC$$.

Тогда четырёхугольник $$ABED$$ — параллелограмм, так как $$AB \parallel DE$$ и $$AD \parallel BE$$. Следовательно,

$$BE=AD.$$

По условию трапеция равнобокая, значит

$$AD=BC.$$

Отсюда

$$BE=BC,$$

значит, треугольник $$BCE$$ равнобедренный с основанием $$EC$$, поэтому

$$\angle BCE=\angle BEC.$$

С другой стороны, так как $$AD \parallel BE$$, а точки $$D, E, C$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle ADE$$ и $$\angle BEC$$ — соответственные, следовательно,

$$\angle ADE=\angle BEC.$$

Тогда

$$\angle BCE=\angle ADE.$$

Но угол $$\angle ADE$$ — это угол при основании $$CD$$ трапеции, а угол $$\angle BCE$$ — другой угол при том же основании. Значит, углы при основании равны.