Вопрос 6 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$A$$ — точка, не лежащая на ней. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$a$$ и проведём наклонные $$AC$$ и $$AD$$.

Треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ прямоугольные, поэтому по теореме Пифагора

$$AC^2=AB^2+BC^2,$$
$$AD^2=AB^2+BD^2.$$

Так как $$BC^2>0$$ и $$BD^2>0$$, то

$$AC^2>AB^2,\qquad AD^2>AB^2,$$

значит,

$$AC>AB,\qquad AD>AB.$$

Следовательно, любая наклонная больше перпендикуляра.

Если $$AC=AD$$, то из равенства

$$AB^2+BC^2=AB^2+BD^2$$

получаем $$BC=BD$$. Значит, равные наклонные имеют равные проекции.

Теперь пусть из двух наклонных больше $$AE$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$ABE$$ и $$ABD$$ имеем

$$AE^2=AB^2+BE^2,$$
$$AD^2=AB^2+BD^2.$$

Если $$BE>BD$$, то $$BE^2>BD^2$$, а значит,

$$AE^2>AD^2,$$

то есть $$AE>AD$$. Следовательно, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Ответ

Любая наклонная больше перпендикуляра; равные наклонные имеют равные проекции; из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.