Упр.6.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от неё до двух других вершин? Объясните ответ.
- Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, если расстояния от этой точки до двух вершин равны $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см},$$ то до двух других вершин они будут такими же: $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}.$$
Ответ: $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}.$$
Ход решения
2) Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Прямая, проходящая через $$O,$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F.$$ Докажем, что $$EO=OF.$$
Рассмотрим треугольники $$EOA$$ и $$COF.$$
$$\angle EOA=\angle FOC$$ как вертикальные углы.
$$\angle EAO=\angle FCO,$$ так как $$AB \parallel CD,$$ а диагональ $$AC$$ является секущей.
Кроме того, $$AO=OC$$, поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Следовательно, $$\triangle EOA \cong \triangle COF$$ по двум углам и заключённой между ними стороне. Отсюда
$$EO=OF.$$
Значит, точка $$O$$ делит отрезок, заключённый между параллельными сторонами, пополам.
