Упр.5.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.

Пусть $$ABC$$ — треугольник, а $$a$$ и $$b$$ — серединные перпендикуляры к его сторонам $$AC$$ и $$BC$$.

Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются. Тогда они параллельны.

Так как $$a$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$AC$$, то $$AC \perp a$$. Аналогично, из того что $$b$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$BC$$, получаем $$BC \perp b$$.

Если $$a \parallel b$$, то из $$AC \perp a$$ следует $$AC \perp b$$. Но тогда прямые $$AC$$ и $$BC$$ обе перпендикулярны прямой $$b$$, значит $$AC \parallel BC$$. Это невозможно, так как стороны треугольника не могут быть параллельны.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются.

Ответ: серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.