Вопрос 6 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: площадь трапеции равна произведению полусуммы
оснований на высоту;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данная трапеция, у которой основание AB равно a,
основание CD равно b, а высота равна h;
2) Диагональ AC разбивает ее на два треугольника ABC и CDA, значит
площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников;
3) Опустим перпендикуляры: AF на прямую CD и CE на прямую AB;
4) Площадь треугольника ABC равна: SABC=1/2 AB•CE;
5) Площадь треугольника ACD равна: SACD=1/2 DC•AF;
6) Так как отрезки AF и CE равны расстоянию между параллельными
прямыми AB и CD, то они являются высотами трапеции ABCD:
AF=CE=h;
7) Следовательно, площадь трапеции ABCD равна:
S=1/2 (AB+CD)•AF=1/2(a+b)•h, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, у которой $$AB=a$$, $$CD=b$$, а высота равна $$h$$.

Диагональ $$AC$$ разбивает трапецию на два треугольника $$ABC$$ и $$ACD$$, поэтому

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Опустим перпендикуляры $$CE$$ на прямую $$AB$$ и $$AF$$ на прямую $$CD$$. Тогда $$CE=AF=h$$, так как оба отрезка равны расстоянию между параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$.

Теперь найдём площади треугольников:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot CE,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\,CD\cdot AF.$$

Подставим $$CE=AF=h$$:

$$ S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot h+\frac{1}{2}CD\cdot h =\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot h. $$

Так как $$AB=a$$ и $$CD=b$$, получаем

$$S=\frac{1}{2}(a+b)h.$$

Что и требовалось доказать.