Вопрос 6 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Вывести: формулу суммы углов выпуклого многоугольника;
Решение:
1) Пусть A1 A2…An-данный ыпуклый многоугольник и n > 3;
2) Проведем n-3 диагонали: A1 A3, A1 A4, …, A1 A((n-1));
3) Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его
на n-2 треугольника: треугольник A1 A2 A3, A1 A3 A4, …, треугольник A1 A(n-1) An;
4) Сумма углов многоугольника A1 A1…An совпадает с суммой углов
всех этих треугольников;
5) Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а так как число этих
треугольников есть n-2, то сумма углов выпуклого n-угольника
A1 A2…An равна 180°•(n-2);
Ответ: 180°•(n-2);

Пусть дан выпуклый $$n$$-угольник $$A_1A_2\dots A_n$$, где $$n>3$$.

Проведём из вершины $$A_1$$ диагонали $$A_1A_3, A_1A_4, \dots, A_1A_{n-1}$$. Тогда выпуклый многоугольник разобьётся на $$n-2$$ треугольника:

$$A_1A_2A_3,\ A_1A_3A_4,\ \dots,\ A_1A_{n-1}A_n.$$

Сумма углов исходного многоугольника равна сумме углов всех этих треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна $$180^\circ$$, значит, сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна

$$180^\circ\cdot(n-2).$$

Ответ

$$180^\circ\cdot(n-2)$$