Упр.5.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника
пересекаются;
Доказательство:
1) Пусть ABC-треугольник и a, b-серединные перпендикуляры к его
сторонам AC и BC;
2) Допустим, что прямые a и b не пересекаются, значит они параллельны;
3) Прямая AC перпендикулярна прямой b, а значит и прямой a;
4) Прямая BC перпендикулярна прямой b, значит обе прямые AC и BC
перпендикулярны прямой b, следовательно AC||BC, но это невозможно,
значит допущение неверно и прямые a и b пересекаются, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — треугольник, а $$a$$ и $$b$$ — серединные перпендикуляры к его сторонам $$AC$$ и $$BC$$.

Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются. Тогда, поскольку они лежат в одной плоскости, они параллельны.

Так как $$a$$ — серединный перпендикуляр к $$AC$$, то $$a \perp AC$$. Аналогично, из того что $$b$$ — серединный перпендикуляр к $$BC$$, получаем $$b \perp BC$$.

Если $$a \parallel b$$ и $$AC \perp a$$, то $$AC \perp b$$. Но тогда и $$BC \perp b$$. Значит, две различные прямые $$AC$$ и $$BC$$ перпендикулярны одной и той же прямой $$b$$, следовательно, $$AC \parallel BC$$. Это невозможно, так как стороны треугольника не могут быть параллельны.

Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно, и прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются.