Упр.15.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого $$9\ \text{м}^3$$. Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим его вершину через $$P$$, а диаметр основания — через $$AB$$. Тогда $$O$$ — середина $$AB$$, $$PO=H$$, $$AO=OB=R$$.

Так как треугольник $$APB$$ прямоугольный и равнобедренный, то его катеты равны, а гипотенуза равна $$AB=2R$$. Высота $$PO$$, опущенная из прямого угла на гипотенузу, в таком треугольнике равна половине гипотенузы, значит

$$PO=R.$$

Площадь осевого сечения:

$$S_{APB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot PO =\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R =R^2.$$

По условию $$S_{APB}=9\text{ м}^2$$, значит

$$R^2=9,\quad R=3\text{ м}.$$

Тогда $$H=PO=R=3\text{ м}$$.

Объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2H =\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3 =9\pi\text{ м}^3.$$

Ответ

$$9\pi\text{ м}^3$$