Упр.14.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга, вписанного в него.

Пусть $$a$$ — сторона квадрата, $$R$$ — радиус описанного круга, $$r$$ — радиус вписанного круга.

Тогда

$$R=\frac{a}{2\sin 45^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}=\frac{a}{\sqrt2},$$

$$r=\frac{a}{2\tan 45^\circ}=\frac{a}{2}.$$

Найдём отношение площадей:

$$\frac{S_{\text{опис}}}{S_{\text{впис}}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=\left(\frac{a/\sqrt2}{a/2}\right)^2=\left(\frac{2}{\sqrt2}\right)^2=2.$$

Ответ: $$2$$.