Упр.6.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: середины сторон прямоугольника являются вершинами
ромба;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный прямоугольник и E, F, G, H-середины его
сторон;
2) По свойству прямоугольника: AC=BD;
3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда:
EF||AC и EF=1/2 AC;
4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда:
FG||BD и FG=1/2 BD;
5) Так как AC=BD, то EF=FG;
6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, отсюда
следует, что EH=FG=EF=HG;
7) Таким образом, у параллелограмма EFGH все стороны равны, значит
он является ромбом, что и требовалось доказать.
Доказать: середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный ромб и E, F, G, H-середины его сторон;
2) По свойству ромба: AC перпендикулярен BD;
3) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда: EF||AC;
4) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда: FG||BD;
5) Так как AC перпендикулярен BD, то EF перпендикулярен FG;
6) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, а так как
оин из его углов прямой, то он является прямоугольником (задача 25),
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

По свойству прямоугольника его диагонали равны: $$AC=BD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Значит,

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac12 AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$CBD$$ отрезок $$FG$$ — средняя линия, поэтому

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac12 BD.$$

Так как $$AC=BD$$, то $$EF=FG$$. Кроме того, по задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ является параллелограммом. Следовательно, в нём противоположные стороны равны, а соседние стороны тоже равны: $$EF=FG=GH=HE$$. Значит, $$EFGH$$ — ромб.

2) Пусть теперь $$ABCD$$ — ромб, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

У ромба диагонали перпендикулярны: $$AC \perp BD$$.

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит

$$EF \parallel AC.$$

В треугольнике $$CBD$$ отрезок $$FG$$ — средняя линия, значит

$$FG \parallel BD.$$

Тогда из $$AC \perp BD$$ следует, что $$EF \perp FG$$. По задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм, а если у параллелограмма один угол прямой, то он является прямоугольником. Следовательно, $$EFGH$$ — прямоугольник.