Упр.11.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис. 264, а).
Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, а $$\angle AMB=\alpha$$ — заданный угол, вершина которого лежит по одну сторону от прямой $$AB$$.
Проведём окружность через точки $$A$$, $$M$$ и $$B$$ и обозначим через $$O$$ её центр. Тогда центральный угол, опирающийся на дугу $$AB$$, вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу:
$$\frac12\angle AOB=\angle AMB=\alpha.$$
Значит, все точки дуги окружности с концами в $$A$$ и $$B$$, лежащей по ту же сторону от прямой $$AB$$, что и точка $$M$$, дают углы той же градусной меры.
Докажем, что других точек с этим свойством нет.
Пусть точка $$X$$ лежит внутри данной дуги, и прямые $$AX$$ и $$BX$$ пересекают окружность в точках $$P_1$$ и $$P_2$$. Тогда по теореме о внешнем и внутреннем углах, образованных хордами окружности,
$$\angle AXB=\frac12\angle AOB-\frac12\angle P_1OP_2.$$
Так как $$\angle P_1OP_2\ne 0$$, то $$\angle AXB\ne \frac12\angle AOB=\alpha$$. Следовательно, точка $$X$$ не подходит.
Пусть теперь точка $$Y$$ лежит вне данной дуги, а прямые $$AY$$ и $$BY$$ пересекают окружность в точках $$K_1$$ и $$K_2$$. Тогда
$$\angle AYB=\frac12\angle AOB+\frac12\angle K_1OK_2.$$
Поскольку $$\angle K_1OK_2\ne 0$$, получаем $$\angle AYB\ne \frac12\angle AOB=\alpha$$. Значит, и точка $$Y$$ не подходит.
Итак, вершины всех углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через точки $$A$$ и $$B$$ и вершины которых лежат по одну сторону от прямой $$AB$$, образуют дугу окружности с концами в точках $$A$$ и $$B$$.
