Упр.7.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Радиус окружности равен $$5\ \text{м}$$. Из точки, отстоящей от центра на $$13\ \text{м}$$, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
Пусть $$O$$ — центр окружности, $$A$$ — данная точка, а $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Тогда $$OA=13\text{ м}$$, $$OB=OC=5\text{ м}$$.
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp AC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$:
$$AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ м}.$$
По симметрии касательных из одной точки $$AB=AC$$.
Найдём угол $$\angle BAO$$:
$$\sin \angle BAO=\frac{OB}{AO}=\frac{5}{13}.$$
Отсюда $$\angle BAO \approx 22^\circ37’$$.
Так как треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны, то $$\angle BAO=\angle OAC$$. Следовательно, угол между касательными равен
$$\angle BAC=\angle BAO+\angle OAC=2\cdot 22^\circ37’=45^\circ14′.$$
Ответ: $$12\text{ м}$$, $$45^\circ14’$$.
