Упр.11.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис. 264, а).

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, а $$\angle AMB=\alpha$$ — заданный угол, вершина которого лежит по одну сторону от прямой $$AB$$.

Проведём окружность через точки $$A$$, $$M$$ и $$B$$ и обозначим её центр через $$O$$. Тогда центральный угол, опирающийся на дугу $$AB$$, равен

$$\angle AOB=2\angle AMB=2\alpha.$$

Покажем, что любая точка этой дуги подходит, и никакая точка вне дуги не подходит.

1) Если $$M_1$$ — любая точка дуги окружности с концами в $$A$$ и $$B$$, то вписанный угол $$\angle AM_1B$$, опирающийся на ту же дугу, равен

$$\angle AM_1B=\frac12\angle AOB=\alpha.$$

Значит, каждая точка дуги действительно является вершиной угла заданной величины.

2) Пусть теперь точка $$X$$ лежит внутри этой дуги. Тогда прямые $$AX$$ и $$BX$$ пересекают окружность в точках $$P_1$$ и $$P_2$$. По теореме о вписанном угле, образованном пересекающимися хордами, имеем

$$\angle AXB=\frac12\angle AOB-\frac12\angle P_1OP_2.$$

Так как $$\angle P_1OP_2\ne 0$$, то $$\angle AXB\ne \alpha$$. Следовательно, точки внутри дуги не подходят.

3) Пусть точка $$Y$$ лежит вне данной дуги. Тогда прямые $$AY$$ и $$BY$$ пересекают окружность в точках $$K_1$$ и $$K_2$$, и аналогично

$$\angle AYB=\frac12\angle AOB+\frac12\angle K_1OK_2.$$

Поскольку $$\angle K_1OK_2\ne 0$$, получаем $$\angle AYB\ne \alpha$$. Значит, точки вне дуги тоже не подходят.

Итак, геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки и вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках.