Упр.6.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон. Тогда $$EF$$ и $$FG$$ являются средними линиями треугольников $$ABC$$ и $$CBD$$ соответственно, поэтому

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac12 AC,$$

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac12 BD.$$

У прямоугольника диагонали равны, значит $$AC=BD$$. Следовательно, $$EF=FG$$.

Кроме того, по задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому

$$EF=GH,\qquad FG=EH.$$

Так как $$EF=FG$$, то получаем

$$EF=FG=GH=EH.$$

Значит, у параллелограмма $$EFGH$$ все стороны равны, следовательно, он является ромбом.

Теперь пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон. Тогда $$EF$$ и $$FG$$ — средние линии треугольников $$ABC$$ и $$CBD$$, поэтому

$$EF \parallel AC,\qquad FG \parallel BD.$$

У ромба диагонали перпендикулярны, значит $$AC \perp BD$$. Отсюда

$$EF \perp FG.$$

По задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм. Если у параллелограмма один угол прямой, то он является прямоугольником. Следовательно, $$EFGH$$ — прямоугольник.

Ответ: середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, а середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.