Упр.15.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной треугольной призмы, $$H$$ — её высота.

Тогда основанием призмы является правильный треугольник. Радиус описанной около него окружности равен радиусу основания цилиндра, вписанного в призму, а радиус вписанной окружности равен радиусу основания цилиндра, вписанного в цилиндр.

Для правильного треугольника со стороной $$a$$:

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}, \qquad r=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Высоты обоих цилиндров одинаковы и равны $$H$$, поэтому отношение их объёмов равно отношению квадратов радиусов оснований:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^2H}{\pi r^2H}=\frac{R^2}{r^2} =\left(\frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})}\right)^2=2^2=4.$$

Ответ: $$4:1$$.