Упр.11.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки. Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AB$$.

Возьмём любую точку $$M$$, для которой $$\angle AMB=90^\circ$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AMB$$ отрезок $$MO$$ является медианой, проведённой к гипотенузе $$AB$$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, получаем:

$$MO=AO=BO.$$

Значит, расстояние от точки $$M$$ до точки $$O$$ постоянно и равно $$AO$$. Следовательно, все такие точки $$M$$ лежат на окружности с центром в $$O$$ и радиусом $$AO$$.

Итак, геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.