Упр.6.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найти: периметр четырехугольнка, вершинами которого являются
середины сторон данного четырехугольника, диагонали которого
равны a и b;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник и E, F, G, H-середины его
сторон, а диагонали равны: AC=a и BD=b;
2) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда:
EF||AC и EF=1/2 AC=1/2•a;
3) Отрезок FG-средняя линия треугольника CBD, отсюда:
FG||BD и FG=1/2 BD=1/2•b;
4) В задаче 55 было доказано, что EFGH-параллелограмм, отсюда
следует, что EH=FG и EF=HG;
5) PEFGH=2•(1/2 a+1/2 b)=a+b;
Ответ: a+b.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон. Диагонали четырёхугольника равны $$AC=a$$ и $$BD=b$$.

Рассмотрим отрезок $$EF$$. Он является средней линией треугольника $$ABC$$, поэтому

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Аналогично, отрезок $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, значит

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac{1}{2}BD=\frac{b}{2}.$$

Из предыдущей задачи известно, что $$EFGH$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны:

$$EH=FG=\frac{b}{2},\qquad HG=EF=\frac{a}{2}.$$

Следовательно, периметр четырёхугольника $$EFGH$$ равен

$$P_{EFGH}=EF+FG+GH+HE=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=a+b.$$

Ответ

$$a+b$$