Упр.14.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: отношение площади круга, вписанного в равносторонний
треугольник, к площади круга, описанного около треугольника;
Решение:
1) Пусть a-сторона треугольника, R-радиус описанного круга
и r-радиус вписанного круга;
2) Выразим радиусы R и r через сторону a треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — сторона равностороннего треугольника, $$R$$ — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Для равностороннего треугольника:

$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}},$$

$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Тогда отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов:

$$\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{опис}}}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\left(\frac{r}{R}\right)^2=\left(\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$