Упр.6.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У четырёхугольника диагонали равны $$a$$ и $$b$$. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон. Диагонали равны $$AC=a$$ и $$BD=b$$.

Отрезок $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, поэтому

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Аналогично, отрезок $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, значит

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac{1}{2}BD=\frac{b}{2}.$$

Из свойства четырёхугольника, соединяющего середины сторон, следует, что $$EFGH$$ — параллелограмм. Тогда

$$EH=FG,\qquad HG=EF.$$

Следовательно, периметр четырёхугольника $$EFGH$$ равен

$$P_{EFGH}=EF+FG+GH+HE=2\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)=a+b.$$

Ответ: $$a+b$$.