Упр.11.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: геометрическое место вершин прямых углов, которые проходят
через две данные точки, есть окружность;
Доказательство:
1) Пусть A и B-данные точки;
2) Отметим точку O-середину отрезка AB;
3) Возьмем какую-нибудь точку M, удовлетворяющую условию, тогда:
угол AMB=90°;
4) Так как AO=OB, то отрезок MO является медианой прямоугольного
треугольника AMB, опущенной на гипотенузу, тогода по доказанному
в задаче 11.53: MO=AO=OB;
5) Таким образом, расстояние MO не зависит от выбранной точки M,
значит все такие точки равноудалены от середины отрезка AB, то есть
геометрическое место этих точек является окружностью по определению,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки. Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AB$$.

Возьмём любую точку $$M$$, для которой $$\angle AMB=90^\circ$$. Тогда треугольник $$AMB$$ прямоугольный, а $$AB$$ — его гипотенуза.

Так как $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то отрезок $$MO$$ является медианой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе. По свойству такой медианы имеем:

$$MO=AO=BO.$$

Значит, расстояние от точки $$M$$ до точки $$O$$ постоянно и равно $$AO$$. Следовательно, все точки $$M$$, из которых отрезок $$AB$$ виден под прямым углом, лежат на окружности с центром в $$O$$ и радиусом $$AO$$.

Итак, геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.