Упр.14.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника.

Пусть $$R$$ — радиус круга, а $$n$$ — число сторон правильного многоугольника, вписанного в этот круг. Тогда центр круга соединён с вершинами многоугольника, и он разбивается на $$n$$ равных треугольников.

Центральный угол каждого такого треугольника равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь одного треугольника:

$$S_{AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\angle AOB=\frac12R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Тогда площадь правильного $$n$$-угольника:

$$S_n=n\cdot S_{AOB}=\frac{nR^2}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь круга равна

$$S_{\text{к}}=\pi R^2.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{к}}}{S_n}=\frac{\pi R^2}{\frac{nR^2}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}}=\frac{2\pi}{n\sin\frac{360^\circ}{n}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Для квадрата $$n=4$$:

$$\frac{S_{\text{к}}}{S_4}=\frac{2\pi}{4\sin 90^\circ}=\frac{2\pi}{4\cdot 1}=\frac{\pi}{2}.$$

2) Для правильного треугольника $$n=3$$:

$$\frac{S_{\text{к}}}{S_3}=\frac{2\pi}{3\sin 120^\circ}=\frac{2\pi}{3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}.$$

3) Для правильного шестиугольника $$n=6$$:

$$\frac{S_{\text{к}}}{S_6}=\frac{2\pi}{6\sin 60^\circ}=\frac{2\pi}{6\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}.$$

Ответ: 1) $$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{4\pi}{3\sqrt3}$$; 3) $$\frac{2\pi}{3\sqrt3}$$.