Упр.8.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите $$\sin\alpha$$ и $$\tg\alpha$$, если:
1) $$\cos\alpha=\frac{1}{3}$$;
2) $$\cos\alpha=-0{,}5$$;
3) $$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
4) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Используем основные тригонометрические тождества:

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$

Отсюда

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha}.$$

1. Если $$\cos \alpha=\frac{1}{3},$$ то

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

   Тогда

   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=2\sqrt{2}.$$

2. Если $$\cos \alpha=-0{,}5=-\frac{1}{2},$$ то

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3}.$$

3. Если $$\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ то

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}}:\frac{\sqrt{2}}{2}=1.$$

4. Если $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.$$

   Тогда

   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1}{2}:\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Ответ: 1) $$\sin \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3},\ \tg \alpha=2\sqrt{2};$$ 2) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \tg \alpha=-\sqrt{3};$$ 3) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \tg \alpha=1;$$ 4) $$\sin \alpha=\frac{1}{2},\ \tg \alpha=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$