Упр.7.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 7-56. Диагонали ромба равны $$4{,}73$$ и $$2{,}94$$. Найдите его углы.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$AC=4{,}73$$, $$BD=2{,}94$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, значит

$$AC\perp BD,$$

$$AO=OC=\frac{4{,}73}{2}=2{,}365,\qquad BO=OD=\frac{2{,}94}{2}=1{,}47.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOC$$. Тогда

$$\tg \angle BOC=\frac{OC}{BO}=\frac{2{,}365}{1{,}47}\approx 1{,}6081.$$

Отсюда

$$\angle BOC\approx 58^\circ 8′.$$

Так как $$\angle BCO=90^\circ-\angle BOC,$$ то

$$\angle BCO\approx 90^\circ-58^\circ 8’=31^\circ 52′.$$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

$$\angle B=2\angle BOC\approx 2\cdot 58^\circ 8’=116^\circ 16′,$$

$$\angle C=2\angle BCO\approx 2\cdot 31^\circ 52’=63^\circ 44′.$$

Противоположные углы ромба равны, значит

$$\angle D=\angle B\approx 116^\circ 16′,$$

$$\angle A=\angle C\approx 63^\circ 44′.$$

Ответ: $$116^\circ 16’$$ и $$63^\circ 44′.$$