Упр.15.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Шар радиуса $$R$$ вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен $$а$$. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса.
Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно является равнобедренной трапецией $$ABCD$$, где $$AB=CD=l$$, $$AD=2R_2$$, $$BC=2R_1$$, а $$\angle BAD=\alpha$$.
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований, $$O$$ — центр вписанного шара. Тогда $$O$$ лежит на оси конуса, а расстояние от центра шара до каждого основания равно $$R$$, значит
$$O_1O=OO_2=R,\qquad O_1O_2=2R.$$
Проведём высоту $$BH$$ трапеции $$ABCD$$. Так как $$AD\parallel BC$$, то $$BH\perp AD$$ и $$O_1O_2\perp AD$$. Следовательно, четырёхугольник $$O_2HBO_1$$ — прямоугольник, откуда
$$BH=O_1O_2=2R.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем
$$\sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{2R}{l},$$
поэтому
$$l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$
Теперь найдём радиусы оснований.
Так как шар касается боковых сторон трапеции, его центр лежит на биссектрисе угла $$\angle BAD$$, значит
$$\angle OAO_2=\frac{\alpha}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AO_2O$$
$$\tan\angle OAO_2=\frac{OO_2}{AO_2},$$
откуда
$$R_2=AO_2=\frac{OO_2}{\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$
Аналогично, в верхнем основании
$$\angle O_1BO=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha)=90^\circ-\frac{\alpha}{2},$$
и в прямоугольном треугольнике $$BO_1O$$
$$\tan\angle O_1BO=\frac{O_1O}{O_1B}.$$
Так как $$\tan\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\cot\frac{\alpha}{2},$$ то
$$R_1=O_1B=\frac{O_1O}{\cot\frac{\alpha}{2}}=R\tan\frac{\alpha}{2}.$$
Итак, радиусы оснований и образующая усечённого конуса равны
$$R_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\qquad R_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\qquad l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$
Ответ
$$R_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\quad R_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\quad l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$
