Упр.11.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. Чему равен угол $$\angle ADC$$, если угол $$\angle ABC$$ равен $$a$$? (Два случая.)

Рассмотрим два случая.

1. Если точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$, то они стягивают одну и ту же дугу $$AC$$. Тогда вписанные углы, опирающиеся на эту дугу, равны:

   $$\angle ABC=\angle ADC=a.$$

2. Если точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$, то соответствующие центральные углы дополняют друг друга до $$360^\circ$$. Поэтому

   $$\angle ABC=\frac12\angle AOC,$$

   а значит,

   $$\angle ADC=\frac12\bigl(360^\circ-\angle AOC\bigr).$$

   Так как $$\angle AOC=2\angle ABC=2a,$$ получаем

   $$\angle ADC=180^\circ-a.$$

Ответ: $$a$$ или $$180^\circ-a$$.