Упр.14.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь кругового кольца (рис. 311), заключённого между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) $$4\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$; 2) $$5{,}5\text{ м}$$ и $$6{,}5\text{ м}$$; 3) $$a$$ и $$b$$, $$a>b$$.

Пусть $$r$$ — радиус внутренней окружности, а $$R$$ — радиус внешней окружности. Тогда площадь кругового кольца равна разности площадей большого и малого кругов:

$$S=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2).$$

1. Если $$r=4\text{ см}$$ и $$R=6\text{ см}$$, то

   $$S=\pi(6^2-4^2)=\pi(36-16)=20\pi\text{ см}^2.$$

2. Если $$r=5{,}5\text{ м}$$ и $$R=6{,}5\text{ м}$$, то

   $$r=\frac{11}{2},\qquad R=\frac{13}{2}.$$

   $$S=\pi\left(\left(\frac{13}{2}\right)^2-\left(\frac{11}{2}\right)^2\right) =\pi\cdot\frac{169-121}{4} =\pi\cdot\frac{48}{4} =12\pi\text{ м}^2.$$

3. Если $$r=b$$ и $$R=a$$, где $$a>b$$, то

   $$S=\pi(a^2-b^2).$$

Ответ: $$20\pi\text{ см}^2$$; $$12\pi\text{ м}^2$$; $$\pi(a^2-b^2)$$.