Упр.6.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а точки $$A_1$$ и $$C_1$$ — середины его сторон $$BC$$ и $$AB$$.

Так как $$AC_1=C_1B$$ и $$BA_1=A_1C$$, то отрезок $$A_1C_1$$ является средней линией треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$A_1C_1 \parallel AC$$.

Значит, точки $$A$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$A_1C_1$$.

Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим перпендикуляры $$AH_1$$ и $$BH_2$$ на прямую $$A_1C_1$$.

Тогда $$\angle AC_1H_1=\angle BC_1H_2$$ как вертикальные, а треугольники $$AH_1C_1$$ и $$BH_2C_1$$ прямоугольные. Кроме того, $$AC_1=BC_1$$, так как $$C_1$$ — середина стороны $$AB$$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$AH_1C_1$$ и $$BH_2C_1$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$AH_1=BH_2$$.

Итак, расстояния от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$ до прямой $$A_1C_1$$ равны. Значит, вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.