Упр.11.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте,
опущенной из вершны прямого угла;
Построение:
1) Пусть даны отрезок c-равный гипотенузе и отрезок h-равный
высоте, опущенной из вершины прямого угла.
2) Отложим отрезок AB, равный отрезку c;
3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB и отметим
точку O на их пересечении;
4) На серединном перпендикуляре отложим отрезок OC1 длины h;
5) Через точку C1 проведем прямую, параллельную прямой AB;
6) Из точки O проведем окружность радиуса OA и отметим точку C
на пересечении этой окружности с прямой, параллельной AB;

Подробный ответ

Пусть $$AB=c$$ — искомая гипотенуза. Построим отрезок $$AB$$ длины $$c$$.

Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ и обозначим точку его пересечения с этим перпендикуляром через $$O$$. Тогда $$O$$ — середина гипотенузы будущего прямоугольного треугольника.

На серединном перпендикуляре отложим от точки $$O$$ отрезок $$OC_1=h$$.

Через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную прямой $$AB$$.

Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$OA$$. Точку пересечения этой окружности с прямой, проведённой через $$C_1$$ параллельно $$AB$$, обозначим через $$C$$.

Соединим точки $$C$$ с $$A$$ и $$B$$. Получим треугольник $$ABC$$.

Так как $$O$$ — середина $$AB$$ и $$OA=OB$$, а точка $$C$$ лежит на окружности с центром в $$O$$ и радиусом $$OA$$, то $$OA=OB=OC$$. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, а значит, является центром описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Поскольку $$O$$ лежит на середине $$AB$$, то прямая $$OC_1$$ перпендикулярна $$AB$$. Прямая $$CC_1$$ параллельна $$AB$$, значит, $$OC_1$$ перпендикулярна и $$CC_1$$. По построению $$OC_1=h$$, следовательно, расстояние от точки $$C$$ до прямой $$AB$$ равно $$h$$.

Таким образом, треугольник $$ABC$$ — прямоугольный, а его гипотенуза равна $$AB=c$$, высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна $$h$$.