Упр.5.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Отобразим условие задачи:
Доказать: высоты треугольника пересекаются в одной точке;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, а A1 B1 C1-треугольник,
образованный прямыми, параллельными его сторонам и проходяшими
через противолежащие этим сторонам вершины;
2) Проведем высоту BH треугольника ABC, так как прямые A1 C1 и AC
параллельны, то BH перпендикулярен A1 C1;
3) угол ABC = углу BCA1 (так как A1 B1 ||AB и BC-секущая);
4) угол ABC = углу BAC1 (так как B1 C1 ||BC и AB-секущая);
5) угол BCA = углу CBA1 (так как A1 C1 ||AC и BC-секущая);
6) угол BAC = углу ABC1 (так как A1 C1 ||AC и AB-секущая);
7) Треугольники ABC и ABC1 равны по второму признаку, отсюда
BC1=AC;
8) Треугольники ABC и CBA1 равны по второму признаку, отсюда
BA1=AC;
9) Таким образом, C1 B=BA1, значит прямая BH является серединным
перпендикуляром стороны A1 C1 треугольника A1 B1 C1;
10) Аналогичным образом доказывается и для других высот и сторон;
11) Следовательно высоты треугольнка ABC являются серединными
перпендикулярами сторон треугольника A1 B1 C1;
12) Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только
одну;
13) Значит высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке,
которая является центром описанной около треугольника A1 B1 C1
окружности, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Построим треугольник $$A_1B_1C_1$$, стороны которого параллельны сторонам треугольника $$ABC$$ и проходят через противолежащие вершины.

Проведём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то $$BH \perp A_1C_1$$.

Докажем, что $$BH$$ является серединным перпендикуляром стороны $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$. Имеем:

$$\angle ABC=\angle BCA_1$$, так как $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$BC$$ — секущая;

$$\angle ACB=\angle CBA_1$$, так как $$A_1C_1 \parallel AC$$ и $$BC$$ — секущая.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CBA_1$$ по второму признаку, откуда $$BA_1=AC$$.

Аналогично для треугольников $$ABC$$ и $$ABC_1$$ получаем $$BC_1=AC$$.

Значит, $$BA_1=BC_1$$, то есть точка $$B$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$. Поэтому прямая $$BH$$, перпендикулярная $$A_1C_1$$, является серединным перпендикуляром этой стороны.

Аналогично доказывается, что две другие высоты треугольника $$ABC$$ являются серединными перпендикулярами двух других сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Но серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Следовательно, все высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.