Упр.15.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: шар радиуса 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от
центра;
Найти: площадь сечения;
Решение:
1) Любое сечение шара является кругом;
2) Пусть O-центр данного шара и O1-центр сечения;
3) Проведем диаметр AB окружности сечения, тогда по условию задачи:
OO1 перпендикулярен AB, AO1=O1 B=r-радиус искомого круга;
OA=OB=41 дм=4,1 м и OO1=9 дм=0,9 м;
4) В прямоугольном треугольнике OO1 A по теореме Пифагора:
r^2=AO1^2=OA^2-OO1^2=4,1^2-0,9^2=16,81-0,81=16;
5) Найдем площадь сечения:
S=Пиr^2=16Пи м^2;
Ответ: 16Пи м^2.

Подробный ответ

Любое сечение шара плоскостью является кругом. Обозначим через $$O$$ центр шара, а через $$O_1$$ — центр сечения. Тогда $$OO_1 \perp$$ плоскости сечения, а значит, $$OO_1 \perp O_1A$$, где $$A$$ — любая точка окружности сечения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1A$$. В нём

$$OA=41\text{ дм}, \quad OO_1=9\text{ дм}.$$

По теореме Пифагора:

$$ O_1A^2=OA^2-OO_1^2 $$
$$ O_1A^2=41^2-9^2=1681-81=1600 $$
$$ O_1A=40\text{ дм}. $$

Значит, радиус сечения равен $$40$$ дм. Тогда площадь сечения:

$$ S=\pi r^2=\pi \cdot 40^2=1600\pi\text{ дм}^2. $$