Упр.6.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон? Построить треугольник по средним линиям.

Пусть даны отрезки $$a,$$ $$b$$ и $$c,$$ равные средним линиям искомого треугольника.

Построим вспомогательный треугольник $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы его стороны были равны данным отрезкам:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $$A_1C_1=b.$$
2. Из точки $$A_1$$ проведём окружность радиуса $$c,$$ а из точки $$C_1$$ — окружность радиуса $$a.$$ Их пересечение обозначим через $$B_1.$$
3. Из точек $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ проведём окружности радиусов $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ соответственно.
4. Точку $$A$$ возьмём на пересечении окружностей с центрами $$B_1$$ и $$C_1,$$ точку $$B$$ — на пересечении окружностей с центрами $$A_1$$ и $$C_1,$$ точку $$C$$ — на пересечении окружностей с центрами $$A_1$$ и $$B_1.$$

Тогда $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ будут серединами сторон треугольника $$ABC,$$ а отрезки $$a,$$ $$b,$$ $$c$$ — его средними линиями. Следовательно, $$ABC$$ — искомый треугольник.