Упр.5.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Обозначим через $$A_1B_1C_1$$ треугольник, стороны которого параллельны сторонам треугольника $$ABC$$ и проходят через вершины, противолежащие этим сторонам.

Проведём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то $$BH \perp A_1C_1$$.

Рассмотрим углы:

$$\angle ABC=\angle BCA_1$$, так как $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$BC$$ — секущая;

$$\angle ABC=\angle BAC_1$$, так как $$B_1C_1 \parallel BC$$ и $$AB$$ — секущая;

$$\angle BCA=\angle CBA_1$$, так как $$A_1C_1 \parallel AC$$ и $$BC$$ — секущая;

$$\angle BAC=\angle ABC_1$$, так как $$A_1C_1 \parallel AC$$ и $$AB$$ — секущая.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ равны по второму признаку, откуда $$BC_1=AC$$. Аналогично треугольники $$ABC$$ и $$CBA_1$$ равны по второму признаку, значит $$BA_1=AC$$.

Так как $$BC_1=BA_1$$, то точка $$B$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$. Значит, прямая $$BH$$ является серединным перпендикуляром стороны $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Аналогично доказывается, что две другие высоты треугольника $$ABC$$ являются серединными перпендикулярами двух других сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Но серединные перпендикуляры сторон любого треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Следовательно, высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.