Упр.11.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: медиана прямоугольного треугольника разбивает его на
два равнобедренных треугольника;
Доказательство:
1) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C;
2) Проведем медиану CO, тогда точка O является серединой гипотенузы,
а значит, по доказанному в предыдущей задаче, и центром описанной
около треугольника ABC окружности, значит:
AO=BO=CO=R;
3) AO=OC, значит треугольник AOC-равнобедренный с основанием AC;
4) BO=OC, значит треугольник BOC-равнобедренный с основанием BC;
5) Таким образом, медиана OC разбивает треугольник ABC на два
равнобедренных треугольника, что и требовалось доказать.

Пусть дан прямоугольный $$\triangle ABC$$ с прямым углом $$C$$. Проведём медиану $$CO$$ к гипотенузе $$AB$$. Тогда точка $$O$$ — середина гипотенузы.

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы является центром описанной около него окружности. Значит,

$$AO=BO=CO.$$

Тогда в треугольнике $$AOC$$ имеем $$AO=CO$$, следовательно, $$\triangle AOC$$ равнобедренный.

Аналогично, в треугольнике $$BOC$$ имеем $$BO=CO$$, значит, $$\triangle BOC$$ тоже равнобедренный.

Следовательно, медиана $$CO$$ разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника.

Ответ

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника.