Упр.13.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

По данной длине дуги $$l$$ найдите её хорду, если дуга содержит: 1) $$60^\circ$$; 2) $$90^\circ$$; 3) $$120^\circ$$.

Пусть $$AB=a$$ — искомая хорда, $$n$$ — градусная мера дуги, $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=R$$ и $$\angle AOB=n$$.

Длина дуги выражается формулой

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n,$$

откуда

$$R=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi n}.$$

1) Если $$\angle AOB=60^\circ$$

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle A=\angle B=\frac{1}{2}(180^\circ-60^\circ)=60^\circ.$$

Значит, $$\triangle AOB$$ равносторонний, и потому $$AB=R$$.

Тогда

$$AB=R=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi\cdot 60^\circ}=\frac{3l}{\pi}.$$

2) Если $$\angle AOB=90^\circ$$

Треугольник $$AOB$$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому

$$AB^2=OA^2+OB^2=R^2+R^2=2R^2,$$

откуда

$$AB=R\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$AB=R\sqrt{2}=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi\cdot 90^\circ}\cdot \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}\,l}{\pi}.$$

3) Если $$\angle AOB=120^\circ$$

В равнобедренном треугольнике $$AOB$$

$$\angle A=\angle B=\frac{1}{2}(180^\circ-120^\circ)=30^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin 120^\circ}=\frac{OA}{\sin 30^\circ}.$$

Тогда

$$AB=R\cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ}=R\cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=R\sqrt{3}.$$

Подставим значение радиуса:

$$AB=R\sqrt{3}=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi\cdot 120^\circ}\cdot \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}\,l}{2\pi}.$$

Ответ: $$1) \frac{3l}{\pi};\quad 2) \frac{2\sqrt{2}\,l}{\pi};\quad 3) \frac{3\sqrt{3}\,l}{2\pi}.$$