Упр.11.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Подробный ответ

Пусть дан прямоугольный $$\triangle ABC$$ с прямым углом $$C$$. Обозначим через $$O$$ середину гипотенузы $$AB$$.

Проведём окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$. Так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OA=OB$$, значит точки $$A$$ и $$B$$ лежат на этой окружности.

Кроме того, $$\angle ACB=90^\circ$$, а центральный угол, опирающийся на хорду $$AB$$, равен $$\angle AOB=180^\circ$$. Следовательно,

$$\angle ACB=\frac12\angle AOB,$$

то есть угол $$ACB$$ является вписанным и опирается на диаметр $$AB$$. Значит, точка $$C$$ тоже лежит на окружности с диаметром $$AB$$.

Итак, все вершины треугольника $$ABC$$ лежат на окружности с центром в точке $$O$$. Следовательно, $$O$$ — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, то есть середина гипотенузы.