Упр.13.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 52. По данной длине дуги l найдите её хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

Пусть $$AB=a$$ — искомая хорда, $$n$$ — градусная мера дуги, $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=R$$ и $$\angle AOB=n$$.

Длина дуги выражается формулой

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n,$$

откуда

$$R=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi n}.$$

1) Если $$\angle AOB=60^\circ$$, то треугольник $$AOB$$ равносторонний, значит $$AB=R$$. Тогда

$$AB=R=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi\cdot 60^\circ}=\frac{3l}{\pi}.$$

2) Если $$\angle AOB=90^\circ$$, то треугольник $$AOB$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$AB^2=OA^2+OB^2=R^2+R^2=2R^2,$$

следовательно,

$$AB=R\sqrt{2}.$$

Подставим значение $$R$$:

$$AB=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi\cdot 90^\circ}\cdot \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}\,l}{\pi}.$$

3) Если $$\angle AOB=120^\circ$$, то в равнобедренном треугольнике $$AOB$$

$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin 120^\circ}=\frac{OA}{\sin 30^\circ}.$$

Так как $$\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем

$$AB=R\cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ}=R\sqrt{3}.$$

Теперь подставим $$R$$:

$$AB=l\cdot \frac{180^\circ}{\pi\cdot 120^\circ}\cdot \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}\,l}{2\pi}.$$

Ответ

$$1) \frac{3l}{\pi};\quad 2) \frac{2\sqrt{2}\,l}{\pi};\quad 3) \frac{3\sqrt{3}\,l}{2\pi}.$$