Упр.8.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

При каких значениях $$c$$ прямая $$x+y+c=0$$ и окружность $$x^2+y^2=1$$: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) касаются?

Рассмотрим систему уравнений прямой и окружности:

$$\begin{cases} x+y+c=0,\\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=-y-c.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$(-y-c)^2+y^2=1.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$y^2+2cy+c^2+y^2=1,$$

$$2y^2+2cy+(c^2-1)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Его дискриминант равен

$$D=(2c)^2-4\cdot 2\cdot (c^2-1)=4c^2-8c^2+8=8-4c^2.$$

Теперь рассмотрим случаи:

1. Прямая и окружность пересекаются, если система имеет две общие точки, то есть $$D>0$$. Тогда

$$8-4c^2>0 \;\Rightarrow\; c^2<2 \;\Rightarrow\; |c|<\sqrt{2}.$$

2. Прямая и окружность не пересекаются, если общих точек нет, то есть $$D<0$$. Тогда

$$8-4c^2<0 \;\Rightarrow\; c^2>2 \;\Rightarrow\; |c|>\sqrt{2}.$$

3. Прямая и окружность касаются, если общая точка одна, то есть $$D=0$$. Тогда

$$8-4c^2=0 \;\Rightarrow\; c^2=2 \;\Rightarrow\; c=\pm\sqrt{2}.$$

Ответ: 1) $$|c|<\sqrt{2}$$; 2) $$|c|>\sqrt{2}$$; 3) $$c=\pm\sqrt{2}$$.