Упр.4.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.

Пусть $$a \parallel b$$, а $$A$$ и $$A_1$$ — произвольные точки на прямой $$a$$. Обозначим через $$AA_1$$ и $$A_1B_1$$ перпендикуляры, опущенные из точек $$A$$ и $$A_1$$ на прямую $$b$$.

Рассмотрим треугольники $$ABA_1$$ и $$A_1B_1B$$. У них:

• $$AB_1$$ — общая сторона;
• $$\angle A_1AB_1 = \angle AB_1B$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$;
• $$AA_1 = B_1B$$ по построению.

Следовательно, $$\triangle AA_1B_1 \cong \triangle B_1AB$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1 = 90^\circ,$$

а также равенство соответствующих сторон:

$$AB = A_1B_1.$$

Значит, расстояния от любых двух точек прямой $$a$$ до параллельной прямой $$b$$ равны.