Упр.5.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Построить: прямоугольный треугольник по катету и сумме второго
катета и гипотенузы;
Построение:
1) Пусть даны отрезок a, равный катету треугольника и отрезок s,
равный сумме второго катета и гипотенузы.
2) На произвольной прямой отметим любую точку B;
3) Проведем в точке B перпендикуляр к данной прямой, для чего:
— Из точки B проведем окружность произвольного радиуса;
— Из точек пересечения этой окружности и прямой проведем окружности
равных радиусов;
— Проведем прямую через точку пересечения этих окружностей;
4) Из точки B проведем окружность радиуса a, отметим точку C на
пересечении этой окружности и перендикуляра;
5) Из точки B проведем окружность радиуса s, отметим точку C1 на
пересечении этой окружности и первой прямой;
6) Построим серединный перпендикуляр отрезка CC1, для чего:
— Из точек C и C1 проведем окружности радиуса CC1;
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
7) Отметим точку A на пересечении этого перпендикуляра и отрезка BC1;
8) Согласно теореме 5.3, точка A равноудалена от точек C и C1, то есть
CA=AC1;
9) Треугольник ABC искомый

Обозначим данный катет через $$a$$, а сумму второго катета и гипотенузы — через $$s$$.

1) Проведём произвольную прямую и отметим на ней точку $$B$$.

2) В точке $$B$$ построим перпендикуляр к этой прямой.

3) На перпендикуляре отложим отрезок $$BC=a$$.

4) На исходной прямой отложим отрезок $$BC_1=s$$.

5) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$CC_1$$.

6) Обозначим через $$A$$ точку пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $$BC_1$$.

Так как $$A$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$CC_1$$, то

$$AC=AC_1.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По построению $$\angle ABC=90^\circ$$, значит, это прямоугольный треугольник. Пусть $$AC_1=x$$. Тогда

$$AC=AC_1=x,$$

а так как точка $$A$$ лежит на отрезке $$BC_1$$, то

$$BC_1=BA+AC_1.$$

Но $$BC_1=s$$, $$BA$$ — второй катет, а $$AC_1=AC$$ — гипотенуза. Следовательно, сумма второго катета и гипотенузы равна $$s$$, как и требуется.

Таким образом, построенный треугольник $$ABC$$ является искомым: $$BC=a$$, а сумма второго катета и гипотенузы равна $$s$$.

Ответ

Построение выполнено.