Упр.11.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности. Чему равна хорда $$AC$$, если угол $$ABC$$ равен $$30^\circ$$, а диаметр окружности — $$10\text{ см}$$?

Пусть $$O$$ — центр окружности.

По теореме о вписанном угле центральный угол, опирающийся на ту же дугу $$AC$$, вдвое больше вписанного:

$$\angle AOC=2\angle ABC=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Диаметр окружности равен $$10$$ см, значит радиус:

$$AO=OC=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Треугольник $$AOC$$ равнобедренный, так как $$AO=OC$$. При этом

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AOC$$ равносторонний, поэтому

$$AC=AO=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.