Упр.10.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.

Пусть $$\vec a=(a_1;a_2)$$ и $$\vec b=(b_1;b_2).$$ Тогда

$$\vec a+\vec b=(a_1+b_1;\,a_2+b_2).$$

Найдём проекции этих векторов на ось $$x.$$ Для вектора $$\vec a$$ имеем

$$\vec a_x=(a_1;0),$$

для вектора $$\vec b$$

$$\vec b_x=(b_1;0),$$

а для суммы

$$\left(\vec a+\vec b\right)_x=(a_1+b_1;\,0).$$

С другой стороны, сумма проекций равна

$$\vec a_x+\vec b_x=(a_1;0)+(b_1;0)=(a_1+b_1;\,0).$$

Следовательно,

$$\left(\vec a+\vec b\right)_x=\vec a_x+\vec b_x.$$

Аналогично доказывается и для проекций на ось $$y$$:

$$\left(\vec a+\vec b\right)_y=\vec a_y+\vec b_y.$$

Значит, проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.