Упр.8.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите точки пересечения окружности $$x^2+y^2=1$$ с прямой: 1) $$y=2x+1$$; 2) $$y=x+1$$; 3) $$y=3x+1$$; 4) $$y=kx+1$$.

Так как точка пересечения принадлежит и окружности, и прямой, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям.

Ход решения

1) Для прямой $$y=2x+1$$ подставим выражение для $$y$$ в уравнение окружности:

$$x^2+(2x+1)^2=1,$$
$$x^2+4x^2+4x+1=1,$$
$$5x^2+4x=0,$$
$$x(5x+4)=0.$$

Отсюда $$x_1=0$$ или $$x_2=-\frac45.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=2\cdot 0+1=1,$$
$$y_2=2\cdot\left(-\frac45\right)+1=-\frac85+1=-\frac35.$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-\frac45;-\frac35\right).$$

2) Для прямой $$y=x+1$$:

$$x^2+(x+1)^2=1,$$
$$x^2+x^2+2x+1=1,$$
$$2x^2+2x=0,$$
$$2x(x+1)=0.$$

Отсюда $$x_1=0$$ или $$x_2=-1.$$

Тогда

$$y_1=0+1=1,$$
$$y_2=-1+1=0.$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$(-1;0).$$

3) Для прямой $$y=3x+1$$:

$$x^2+(3x+1)^2=1,$$
$$x^2+9x^2+6x+1=1,$$
$$10x^2+6x=0,$$
$$2x(5x+3)=0.$$

Отсюда $$x_1=0$$ или $$x_2=-\frac35.$$

Тогда

$$y_1=3\cdot 0+1=1,$$
$$y_2=3\cdot\left(-\frac35\right)+1=-\frac95+1=-\frac45.$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-\frac35;-\frac45\right).$$

4) Для прямой $$y=kx+1$$:

$$x^2+(kx+1)^2=1,$$
$$x^2+k^2x^2+2kx+1=1,$$
$$x^2(1+k^2)+2kx=0,$$
$$x\bigl((1+k^2)x+2k\bigr)=0.$$

Отсюда $$x_1=0$$ или $$x_2=-\frac{2k}{1+k^2}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=k\cdot 0+1=1,$$
$$y_2=k\left(-\frac{2k}{1+k^2}\right)+1=-\frac{2k^2}{1+k^2}+1=\frac{1-k^2}{1+k^2}.$$

Точки пересечения: $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(-\frac{2k}{1+k^2};\frac{1-k^2}{1+k^2}\right).$$

Ответ

1) $$\left(0;1\right),\ \left(-\frac45;-\frac35\right)$$; 2) $$\left(0;1\right),\ (-1;0)$$; 3) $$\left(0;1\right),\ \left(-\frac35;-\frac45\right)$$; 4) $$\left(0;1\right),\ \left(-\frac{2k}{1+k^2};\frac{1-k^2}{1+k^2}\right).$$