Упр.4.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС.

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BA$$ и $$CD$$ на прямую $$a$$. Тогда $$AB=CD$$, так как точки $$B$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$a$$.

Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них:

• $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$;
• $$\angle BOA=\angle COD$$ как вертикальные;
• $$AB=CD$$.

Следовательно, треугольники $$BOA$$ и $$COD$$ равны по катету и прилежащему острому углу. Отсюда $$BO=OC$$.

Значит, точка $$O$$ является серединой отрезка $$BC$$.

Ответ

$$O$$ — середина отрезка $$BC$$.