Вопрос 5 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что $$\cos a<1$$ для острого угла $$a$$.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$, а $$\angle A=\alpha$$ — острый угол.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике

$$\cos \alpha=\cos \angle A=\frac{AC}{AB}.$$

Так как $$AB$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, то она больше любого катета, в частности

$$AB>AC.$$

Следовательно,

$$\frac{AC}{AB}<1,$$

значит,

$$\cos \alpha<1.$$

Ответ: $$\cos \alpha<1$$ для любого острого угла $$\alpha$$.