Вопрос 5 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: cosa < 1 для острого угла; Доказательство: 1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник с прямым углом C и острым улом угол A=a; 2) В предыдущей задаче было доказано, что гипотенуза больше любого из катетов: AB > AC (следствие из теоремы Пифагора);
3) Следовательно, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$, а $$\angle A=\alpha$$ — острый угол.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}.$$

Так как $$AB$$ — гипотенуза, а $$AC$$ — катет, то $$AB>AC$$. Следовательно,

$$\frac{AC}{AB}<1.$$

Значит,

$$\cos \alpha<1.$$

Ответ

$$\cos \alpha<1$$ для любого острого угла $$\alpha$$.