Вопрос 5 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём из вершины $$B$$ высоту $$BD$$ к стороне $$AC$$.

Тогда площадь треугольника равна

$$S=\frac12 AC\cdot BD.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$.

Если угол $$A$$ острый, то

$$BD=AB\sin\angle A.$$

Если угол $$A$$ тупой, то

$$BD=AB\sin(180^\circ-\angle A).$$

Но

$$\sin(180^\circ-\angle A)=\sin\angle A,$$

значит, в любом случае

$$BD=AB\sin\angle A.$$

Подставим это в формулу площади:

$$S=\frac12 AC\cdot BD=\frac12 AC\cdot AB\sin\angle A.$$

Следовательно, площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.