Упр.13.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.

Пусть замкнутая ломаная состоит из вершин $$A_1, A_2, \ldots, A_n$$ и звеньев $$A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_n, A_nA_1.$$

Возьмём любое её звено, например $$A_kA_{k+1}$$. Если мысленно разорвать ломаную в точках $$A_k$$ и $$A_{k+1}$$, то остальные звенья образуют незамкнутую ломаную, соединяющую точки $$A_k$$ и $$A_{k+1}$$.

По теореме о ломаной длина отрезка, соединяющего концы незамкнутой ломаной, меньше суммы длин её звеньев. Значит,

$$A_kA_{k+1}<A_1A_2+\cdots+A_{k-1}A_k+A_{k+1}A_{k+2}+\cdots+A_nA_1.$$

То есть длина любого звена замкнутой ломаной меньше суммы длин остальных звеньев. Следовательно, тем более она не больше этой суммы.

Ответ: длина каждого звена замкнутой ломаной не больше суммы длин остальных звеньев.